Esferas o bolas

Dado un código CC sobre Fq\mathbb{F}_q y un entero r≥0r \geq 0, definimos la esfera de radio rr centrada en c∈Fqc \in \mathbb{F}_q como:

Br(c):={v∈Fq ∣ d(v,c)≤r}.B_r(c) := \{ v \in \mathbb{F}_q \, | \, d(v, c) \leq r \}.

Propiedades de las esferas:

  • La esfera de radio rr centrada en cc es el conjunto de todos los v∈Fqv \in \mathbb{F}_q que están a distancia a lo sumo rr de cc.
  • La esfera de radio rr centrada en cc es un subconjunto de Fq\mathbb{F}_q que contiene a todos los v∈Fqv \in \mathbb{F}_q que son a lo sumo rr errores de cc.

Fórmula del tamaño de la esfera:

Para todo u∈Fqnu \in \mathbb{F}_q^n, se cumple:

∣Br(u)∣=∑j=0r(nj)(q−1)j.|B_r(u)| = \sum_{j=0}^{r} \binom{n}{j}(q-1)^j.

Esto significa que, para cualquier u∈Fqnu \in \mathbb{F}_q^n, la esfera Br(u)B_r(u) tiene el mismo número de elementos.