Distancia de Hamming

Para u=(u1,u2,…,un),v=(v1,v2,…,vn)∈Fq\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n), \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \in \mathbb{F}_q, definimos la distancia de Hamming, dd, entre u\mathbf{u} y v\mathbf{v} como:

d(u,v)=∣{j ∣ uj≠vj, j=1,…,n}∣.d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = |\{ j \, | \, u_j \neq v_j, \, j = 1, \dots, n \}|.

Propiedades de la distancia de Hamming:

La distancia de Hamming es una métrica sobre Fq\mathbb{F}_q. Esto significa que para todo u,v∈Fq\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{F}_q se verifica:

  1. d(u,v)≥0d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \geq 0
  2. d(u,v)=0  ⟺  u=vd(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{u} = \mathbf{v} (Identidad)
  3. d(u,v)=d(v,u)d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = d(\mathbf{v}, \mathbf{u}) (Simetría)
  4. d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w)d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + d(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \geq d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) para todo w∈Fq\mathbf{w} \in \mathbb{F}_q (Desigualdad triangular).

Invarianza bajo traslaciones:

Además, dd es invariante bajo traslaciones. Esto significa que para todo u,v,w∈Fq\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{F}_q, se cumple:

d(u,v)=d(u+w,v+w).d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = d(\mathbf{u} + \mathbf{w}, \mathbf{v} + \mathbf{w}).