Códigos Lineales

Definiciones principales:

1. Espacio vectorial:
   Un código lineal $C$ sobre $\mathbb{F}_q$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{F}_q^n$. Es decir, el conjunto $C$ está cerrado bajo suma y multiplicación escalar.

2. Dimensión y longitud:

   • $C$ se denomina un $(n, k)$-código lineal si $\dim(C) = k$, donde $k$ es la dimensión del subespacio y $n$ es la longitud de los vectores en $C$.
   • $C$ se denomina un $(n, k, d)$-código lineal si, además de ser un $(n, k)$-código lineal, su distancia mínima es $d$.

3. Notaciones comunes:
   Dependiendo de los parámetros relevantes, los códigos lineales pueden representarse como:

   • $[n, k, d]$-código lineal: Para enfatizar la longitud ($n$), dimensión ($k$) y distancia mínima ($d$).
   • $[n, k]$-código lineal: Cuando solo se consideran la longitud y la dimensión.
   • $[n, k, d]_q$-código lineal: Para incluir la característica del campo $\mathbb{F}_q$.

Propiedades clave:

1. Distancia mínima ($d$):
   La distancia mínima de un código lineal $C$ es el menor número de posiciones en las que difieren dos palabras de código distintas en $C$.

   • Matemáticamente, $d(C) = \min\{d(u, v) \mid u, v \in C, u \neq v\}$.
   • En códigos lineales, $d$ también puede calcularse a partir de la matriz generadora como el número mínimo de columnas linealmente dependientes.

2. Generación del código:
   Todo código lineal puede representarse mediante una matriz generadora $G$ de tamaño $k \times n$, tal que:

   • Cada palabra de código es una combinación lineal de las filas de $G$.
   • El rango de $G$ es igual a la dimensión del código, $k$.

3. Matriz de paridad:
   Una matriz $H$ de tamaño $(n-k) \times n$, llamada matriz de paridad, satisface:

   $$H \cdot v^T = 0, \quad \forall v \in C.$$

   Esta propiedad se usa para detectar y corregir errores en las palabras recibidas.

Clasificación adicional:

• Códigos cíclicos:
  Un tipo especial de código lineal donde cualquier desplazamiento cíclico de una palabra de código sigue siendo una palabra válida en el código.

• Códigos BCH:
  Códigos cíclicos con buenas propiedades de corrección de errores, definidos por raíces de polinomios en $\mathbb{F}_q$.

• Códigos Reed-Solomon:
  Códigos de longitud máxima útiles para corregir errores en aplicaciones como CDs y sistemas de telecomunicaciones.

Ejemplo práctico:

Sea $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$, y define un código lineal $C$ con matriz generadora:

• $n = 5$, $k = 3$.
• Las palabras de código son combinaciones lineales de las filas de $G$.
• Calculando las distancias entre todas las palabras, encontramos que $d = 2$.