Códigos de Reed-Solomon

Códigos de Reed-Solomon

Definición:
  • Un código de Reed-Solomon es un [n,k][n, k]-código sobre Fq\mathbb{F}_q basado en la interpolación polinómica.
  • La matriz generadora está definida mediante la matriz de Vandermonde:
G=[11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1k−1a2k−1⋯ank−1].G = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{k-1} & a_2^{k-1} & \cdots & a_n^{k-1} \end{bmatrix}.

Aquí ai∈Fqa_i \in \mathbb{F}_q son elementos distintos.

Propiedades:
  • Corrección de errores: pueden corregir hasta ⌊(n−k)/2⌋\lfloor (n-k)/2 \rfloor errores.
  • Utilizados ampliamente en telecomunicaciones y almacenamiento digital.
Ejemplo:

Con F3={0,1,2}\mathbb{F}_3 = \{0, 1, 2\}, se puede construir un [3,2][3, 2]-código utilizando la matriz generadora de Vandermonde.

Propiedades

Conceptos:
  • Códigos Simplex: Son los códigos duales de los códigos de Hamming, denotados Simq(k)\text{Sim}_q(k), con todas sus palabras de código no nulas teniendo el mismo peso.
  • Matriz de Vandermonde: Base para construir códigos de Reed-Solomon.